[NOI Online 2022 普及组] 数学游戏（民间数据） - 洛谷

简化题意：

给定 $x, z$ 求是否存在满足条件 $z = x \times y \times \gcd(x, y)$ 的 $y$，如果存在请输出，如果不存在输出 $-1$。

输麻了，md 普及比提高还难。

考虑设 $d = \gcd(x, y)$ 那么 $x = k_x d, y = k_yd, z = k_xk_yd^3$。

考虑我们最终要求的东西就是 $k_yd$ 考虑用根据三元方程组肯定是可以表示出的，考虑用已知量来表示未知，$k_yd = \frac{z}{xd}$，那么本质上我们只要求出 $d$ 就行了 ，考虑到我们可以通过 $\gcd$ 的条件进行迭代，因为 $\gcd(k_x, k_y) = 1$ 考虑通过这个性质构造出与 $d$ 有关的式子。

发现 $\gcd(x, y) = \gcd(k_xd, k_yd)$，将 $k_yd = \frac{z}{xd}$ 带入可以得到 $\gcd(x, \frac{z}{xd}) = d$。

发现右边只是多了一个 $\frac{1}{d}$，考虑这个东西是 $k_yd \to \frac{z}{xd}$ 的，所以让其变成 $k_yd^2$，但是这样不能直接变换，发现 $k_x, k_y$ 对我们的答案一点影响都没有，所以左边只要也出现一个 $d^2$ 即可。

那么得到式子 $\gcd(x^2, \frac{z}{x}) = d^2$，游戏结束。